জটিল সংখ্যার ধর্ম

একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণি - উচ্চতর গণিত উচ্চতর গণিত – ২য় পত্র | - | NCTB BOOK

553

জটিল সংখ্যার কিছু গুরুত্বপূর্ণ ধর্ম নিচে দেওয়া হলো:

১. যোগের ধর্ম

সংযোজন ধর্ম: $z_1 + z_2 = z_2 + z_1$ অর্থাৎ দুটি জটিল সংখ্যা যোগ করলে যে কোনো ক্রমেই যোগফল একই থাকে।
সমিতি ধর্ম: $(z_1 + z_2) + z_3 = z_1 + (z_2 + z_3)$ অর্থাৎ তিনটি জটিল সংখ্যা যোগের ক্রম বদলালেও যোগফল অপরিবর্তিত থাকে।

২. বিয়োগের ধর্ম

বিয়োগের ক্রম: বিয়োগের ক্ষেত্রে ক্রম পরিবর্তন করলে ভিন্ন ফলাফল হতে পারে। যেমন, $z_1 - z_2 \neq z_2 - z_1$ ।

৩. গুণনের ধর্ম

সংযোজন ধর্ম: $z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1$ অর্থাৎ দুটি জটিল সংখ্যা গুণ করলে যে কোনো ক্রমেই গুণফল একই থাকে।
সমিতি ধর্ম: $(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3)$ অর্থাৎ তিনটি জটিল সংখ্যা গুণের ক্রম বদলালেও গুণফল অপরিবর্তিত থাকে।
বন্টন ধর্ম: $z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3$ অর্থাৎ একটি জটিল সংখ্যা অন্য দুটি সংখ্যার যোগফলের সঙ্গে গুণ করলে, প্রথম সংখ্যা পৃথকভাবে যোগের প্রতিটি অংশের সাথে গুণন হয়।

৪. কনজুগেটের ধর্ম

যোগের কনজুগেট: $\overline{z_1 + z_2} = \overline{z_1} + \overline{z_2}$ অর্থাৎ দুটি জটিল সংখ্যার যোগের কনজুগেট নেওয়া হলে প্রতিটি সংখ্যার কনজুগেটের যোগ হয়।
গুণের কনজুগেট: $\overline{z_1 \cdot z_2} = \overline{z_1} \cdot \overline{z_2}$ অর্থাৎ দুটি জটিল সংখ্যার গুণফলের কনজুগেট হলো প্রতিটি সংখ্যার কনজুগেটের গুণফল।

৫. মডুলাসের ধর্ম

যোগের মডুলাস: $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ অর্থাৎ দুটি জটিল সংখ্যার যোগের মডুলাস পৃথক মডুলাসের যোগের চেয়ে বড় বা সমান।
গুণের মডুলাস: $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$ অর্থাৎ দুটি জটিল সংখ্যার গুণফলের মডুলাস পৃথক মডুলাসের গুণফলের সমান।
ভাগের মডুলাস: $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ (যদি $z_2 \neq 0$ )।

৬. কনজুগেট ও মডুলাসের সম্পর্ক

একটি জটিল সংখ্যা $z = a + bi$ এর কনজুগেট $\overline{z} = a - bi$ । তাদের মডুলাস একই হবে: $|z| = |\overline{z}|$ । এছাড়া $z \cdot \overline{z} = |z|^2$ ।

৭. উল্ট সংখ্যা

জটিল সংখ্যার উল্ট সংখ্যা (Reciprocal) পেতে হলে কনজুগেট ব্যবহার করা হয়। $z = a + bi$ এর উল্ট সংখ্যা $\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2}$ ।

জটিল সংখ্যার এই ধর্মগুলো জটিল সংখ্যা বিশ্লেষণে বিশেষভাবে ব্যবহৃত হয়, যা ইলেকট্রনিক্স, সংকেত প্রক্রিয়াকরণ এবং অন্যান্য গণিতের ক্ষেত্রগুলোতে গুরুত্বপূর্ণ।

Content added By